si los lados de un ángulo son respectiva mente paralelos a loas de otro, los dos ángulos son iguales o suplementarios.
demostrar que :
< P = < O y el ángulo p' es el simplemente del ángulo O
demostración:
prolongar la recta OA hasta M por post.2
OA = YW por hipot
BO = XZ por hipot.
< M = < P por teorema 18
<O = <P " " "
<P' es suplemento del angulo <P
<P' es suplemento del angulo <O l.q.q.d
TEOREMA XXVI
en todo paralelogramo, cada lado es igual a su opuesto
demostrar que :
BC = AD, y AB= DC
demostración:
tracese la diagonal AC
En los triangulos ABC y ADC
AC= AC por identidad
< BAC = <DCA
<ACB=<CAD por teorema 16
por lo tanto el triangulo ABC = ADC por teorema 3
por lo tanto BC = AD, y AB= DC l.q.q.d
TEOREMA XXVII
si cada lado de un cuadrilatero = a su opuesto, el cuadrilatero es un paralelogramo.
demostrar que :
ABCD es un paralelogramo
demostración:
AB = CD por hipot.
AD=BC " "
AC= AC por identidad
trazamos la diagonal AC
el triangulo ABC = ADC por teorema 6
por lo tanto < BAC = <ACD,
<ACB = <CAD por corolario 1
por lo tanto AB ll DC
BC ll AD por teorema 16
por lo tanto ABCD es un paralelogramo l.q.q.d
TEOREMA XXVIII
si 2 lados de un cuadrilatero son ='s y ll's ,los otros dos tambien lo son, y por tanto el cuadrilatero es un paralelogramo.
demostrar que :
cuadrilatero ABCD es un paralelogramo
demostración:
AB = CD por hipot.
AD=BC " "
AC= AC por identidad
trazamos la diagonal AC
el triangulo ABC = ADC por teorema 6
por lo tanto < BAC = <ACD,
<ACB = <CAD por corolario 1
por lo tanto AB ll DC
BC ll AD por teorema 16
por lo tanto ABCD es un paralelogramo l.q.q.d
TEOREMA XXIX
las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.
demostrar que :
AO = OC y BO=OD
demostración:
el triangulo AOB y el triangulo COB
AB=C D por hipopt.
<BAC=< ACD por teorema 16
<ABD= <BDC por teorema 16
el triangulo AOB = COD por teorema 3
por lo tanto OB=DO
AO = OC l.q.q.d
TEOREMA XXX
ai dos lados adyacentes de un paralelogramo y el angulo comprendido son respectivamente iguales a los de otro, los dos paralelogramos son iguales
demostrar que :
los dos paralelogramos son iguales
demostración:
colocamos el paralelogramo ABCD sobre el A'B'C'D'
AB coincide con A'B' por post. 5
AD toma la direccion A'D' .
<A=< A'
D caera en D'
ahora bien DC y D'C' son paralelas A'D' que pasan por el punto D'
por lo tanto DC tomara la direccion de D'C' por post. de ll's
tambien DC,B'C' son paralelas a A'D' que pasan por B'
por lo tanto BC tomara la direccion de B'C' por post. de paralelas
por lo tanto C caera sobre C'
por lo tanto los dos paralelogramos son iguales l.q.q.d
TEOREMA XXXI
si
los segmentos determinados en una transversal por 3 o mas paralelas son iguales , tambien son iguales los determinados en cualquiera otra transversal por las mismas paralelas.
demostrar que :
AC=CE=EG
demostración:
trácese AP, CQ ,ER paralelas a BH los triangulos APC,CQE,ERG son respectivamente iguales a BDC, DFE, FHG por teorema 18
ahora bien los triangulos BDC, DFE,FHG son iguales por teorema 18
por lo tanto los triangulos CAP,ECQ, GER son iguales por axioma 7
AP,CQ,ER,son ll's por corolario 2
tambien AP= BD, CQ = DF, ER= FH por corolario 2
BD=DF=FH por hipot
por lo tanto AP = CQ= ER por axioma 7
por lo tanto los triangulos CPA,EQC,GRE son iguales por teorema 3
por lo tanto AC=CE=EG l.q.q.d
TEOREMA XXXII
la suma de los angulos internos de un poligono es igual a 2 rectos multiplicado por el exceso del numero de lados del poligono sobre 2.
demostrar que :
que la suma de los angulos internos es 2rt por (n-2)
demostración:
n = numero de lados
la sumatoria de los angulos internos de un triangulo= 2rt
la sumatoria de los angulos internos de un poligono= al numero de triangulos por 2rt
la sumatoria de los angulos internos de un poligono=(n-2)*2rt
l.q.q.d
TEOREMA XXXIII
la suma de los angulos externos de un poligono, formados prolongando los lados sucesivamente, es igual a 4 rectos
demostrar que :
la suma de los angulos externos es 4 rectos
demostración:
<a + <a´= 2rt
<b+b'=2rt
la sumatoria(de los angulos internos + angulos externos )=2rt*n
la sumatoria de los angulos externos = 2rt*n - la sumatoria de los angulos internos.
la sumatoria de los angulos externos = 2rt*n -2rt(n-2)
la sumatoria de los angulos externos = 2rt*n - 2rt + 4rt
la sumatoria de los angulos externos = 4rt l.q.q.d
TEOREMA XXXIV
la perpendicular bisectriz de una recta es el lugar geometrico de todos los puntos equidistantes de los extremos de la recta.
demostrar que :
OY es el lugar geometrico de todos los puntos equidistantes de A y B
demostración:
AO=OB por hipot
OY es perpendicular a AB por hipot.
el triangulo AOP y el triengulo BOP por teorema dos
OP=OP por identidad
el angulo AOP =< BOP= 90
por lo tanto AP = BP
de la misma manera OD = OD por identidad
<AOD = <BOD = 90
por lo tanto AD = BD
BC < CD +BD por post.3
BC < CD +AD por axioma 8
por lo tanto BC < AC por axioma 8 l.q.q.d
TEOREMA XXXV
el lugar geometrico de los puntos equidistantes de 2 rectas que se cortan consta de las 2 bisectrices de los angulos formados por las dos rectas.
demostrar que :
CA Y BD constituyen el lugar geometrico de los puntos equidistantes de XX' e YY´
demostración:
el triangulo ONP y el triengulo OMP son rectangulos
<ONP=<OMP =90
OP =OP por identidad
Cpor teorema 13
por lo tanto NP = MP
trazamos al perpendicular SQ a OY , RQ a OX', B'T a OX'
<OSP' = <OTP' = 90
OPP'=OPP' por identidad
el triangulo OSP' y el triengulo OTP' por teorema 13
por lo tanto SP'=TP'
QT < TP'+QP'
QT < SQ por axioma 8
QR<QT
por lo tanto QR < SQ l.q.q.d
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