TEOREMA I
dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
sean AC y BD dos rectas que cortan en O .
demostrar: que el < AOB = < COD
tenemos la recta AB y CD por ángulos suplementarios y sabemos que :
el <BOC + < AOC=180
<AOC + < AOD =180 por lo tanto el < BOC +<AOC= <AOC+<AOD
<BOC = <AOD l.q.q.d
TEOREMA II
si 2 lados de un triangulo y el ángulo comprendido son respectiva mente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro, los 2 triángulos son iguales.
sean ABC, XYZ dos triángulos en que AB=XY , AC=XZ Y <A= <X
demostrar que:
el triangulo ABC = triangulo XYZ
demostración:
coloque se el triangulo ABC sobre XYZ de suerte que A caiga sobre X y AB sobre XY por post.5
entonces B caerá sobre Y y AC tomara la dirección de XZ
finalmente C caerá sobre Z por lo tanto CB coincidirá con ZY por post.1
por lo tanto los triángulos son congruentes y por lo tanto son iguales l.q.q.d
TEOREMA III
2 triángulos son iguales si tienen iguales respectiva mente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado.
sean ABC y XYZ y en que los ángulos A y B son ='s respectiva mente a los X e Y, y AB es igual a XY
demostrar que:
el triangulo ABC = triangulo XYZ
demostración:
coloque se el triangulo ABC sobre XYZ de suerte que AB coincida con su igual XY por post.5
los lados AC y BC tomaran respectiva mente las direcciones de XZ , YZ
por lo tanto C caerá sobre Z . por post.1
por lo tanto son iguales( por igualdad de las figuras geométricas)
l.q.q.d
TEOREMA IV
en todo triangulo isoceles los <'s opuestos a los lados iguales son iguales
demostrar que:
<A = < B
demostración:
trazar la bisectriz en el < C
la recta AC = BC por hipot.
el triangulo ADC y el triangulo BDC
<ACD=<BCD por construccion
y la recta CD = CD por identidad
el triangulo ADC = triangulo BDC por teorema 2
< CAD = < CBD
<A = <B l.q.q.d
TEOREMA V
si dos ángulos de un triangulo son iguales los lados opuestos son =´s y el triangulo es por lo tanto isóceles
demostrar que:
AC = BC
demostración:
creamos el triangulo A'B'C'
volteamos el triangulo A'B'C' por post. 5
la recta AB= a la recta A'B' por construccion
<A =<B por hipot.
<A =<B' " "
<A'=<B' " "
la recta B'C' toma la direccion de AC
AC = B'C'
C' encaja en C
BC= A'C'
BC=B'C' por construccion
la recta AC =BC por axioma 7 lq.q.d
TEOREMA VI
si los 3 lados de un triangulo son respectiva mente iguales a los 3 lados del otro los 2 triángulos son =´s
demostrar que:
triangulo ABC = A'B'C'
demostración:
transportamos el triangulo A'B'C' por post 5
AB= B'C' por hipot.
se crea el triangulo ABC'
unimos C y C'
AC= AC' por hipot.
BC= BC' " "
por lo tanto el <ACC'=<AC'C por teorema 4
por lo tanto el <BCC'=<BC'C por teorema 4
<ACC'+<BCC'=<AC'C+<BC'C por axioma 1
<ACB=<BC'A por axioma 8
por lo tanto el triangulo ABC= triangulo ABC' por teorema 2
el triangulo ABC'= triangulo A´B´C´ por post. 5
por lo tanto el triangulo ABC =A´B'C' por axioma 7 l.q.q.d
TEOREMA VII
si de un punto situado en el interior de un triangulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados, la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triangulo.
demostrar que:
AP + PB < AC + BC
demostración:
prolongamos a la recta AP hasta Q por post.2
obtengo el triangulo AQC y el triangulo BPQ
AC + QC > AP + PQ por post. 3
PQ + BQ > PB por post. 3
AC + CQ + PQ + BQ > AP + PQ + PB por axioma 5
AC + BC + PQ > AP + PQ + PB por axioma 8
AC + BC > AP + PB por axioma 4
por lo tanto AP + PB < AC + BC l.q.q.d
TEOREMA VIII
de un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta no mas de una perpendicular.
demostrar que:
PZ no es perpendicular a XY
demostración:
trazamos P'Z' por construccion
OP= OP' " "
POP'= a una recta por post .2
PZP'= no es recta por post.1
<POZ no es recto por perpendicular
<P´OZ no es recto por perpendicular
por lo tanto el < POZ=<P'OZ
OZ = OZ por identidad
triangulo POZ = triangulo P'OZ por teorema 2
< PZO no es recto
< P'ZO no es recto
por lo tanto PZ no es perpendicular a XY l.q.q.d
TEOREMA IX
si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a la recta dos oblicuas cuyos pies esten a igual distancia del pie de la perpendicular, esas dos oblicuas son iguales y forman angulos iguales con la perpendicular.
demostrar que:
la recta AP = BP
demostración:
<APO=<BPO
AO=BO por hipot.
OP = OP por identidad
< AOP es recto por perpendicular
<BOP es recto por perpendicular
por lo tanto < AOP = <BOP
el triangulo AOP = BOP por teorema 2
<APO = < BPO l.q.q.d
TEOREMA X
si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a esa
recta dos oblicuas cuyos pies no equidisten del de la perpendicular , la oblicua cuyo pie dista mas es mayor que la otra.
demostrar que:
la recta AP > PC
demostración:
prolongamos a la recta OP por post 2
OP' = OP por construccion
trazamos PB por construccion
OC = OB
BP=BP´ por teorema 9
AP = AP' " " "
BP + PP' > OP + OP' por post. 3
2 BP > 2OP por axioma 8
AP + AP' > 2OP por post. 3
2 AP > 2OP
2 AP > 2BP por axioma 4
por lo tanto AP > BP
BP= PC por teorema 9
por lo tanto AP > PC l.q..q.d
TEOREMA XI
la perpendicular es la mas corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella.
demostrar que:
la recta PO < PZ
demostración:
prolongamos la recta OP por post 2
OP = OP'
PZ=P'Z por teorema 9
PO +P'O < PZ + P'Z por post 3
2OP < 2PZ por axioma 4
OP < PZ l.q.q.d
TEOREMA XII
dos triangulos rectangulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y un cateto del otro
demostrar que:
el triangulo ABC= A´B´C´
demostración:
el angulo AB'C´= 90 por hipot.
<A'B´C´=90 " "
<AB´C´+ <A´B´C´=180 por angulos colineales
AC'= A'C' por hipot.
AB' = B'A por hipot.
el triangulo AB'C'= A'B'C' por teorema 2
el triangulo AB'C'= ABC por post 5
por lo tanto el triangulo ABC = A´B´C´ por axioma 7 l.q.q.d
TEOREMA XIII
dos triangulos rectangulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los angulos adyacentes a ella .
demostrar que:
el triangulo ABC= A´B´C´
demostración:
utilizamos congruencias
A caera sobre A'
AC = AC´
AB = A'B'
B caera sobre B'
BC= B´C'
por lo tanto el triangulo ABC = A´B´C´ l.q.q.d
TEOREMA XIV
dos rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a una tercera no pueden econtrarse , por mas que se prolonge.
demostrar que:
AB y CD son paralelas
demostración:
la recta AB es perpendicular a XY por corolario 1
CD es perpendicular a XY por corolario 2
por lo tanto AB es paralela a CD l.q.q.d
TEOREMA XV
dos rectas son paralelas , toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras.
demostrar que:
XY es perpedicular a CD
demostración:
MN ll AB por corolario 1
CD ll AB por hipot.
por lo tanto CD y MN debe coincidir por post. de rectas
XY perpendicular a MN por hipot.
XY es perpedicular a CD lq.q.d
TEOREMA XVI
2 paralelas son cortadas por una transversal, los <'s alternos-internos son iguales
demostrar que:
< APQ= <DQP
demostración:
MN es perpendicular a AB por teorema 15
el triangulo POM y QNO B son rectangulos por construccion
<OMP y <ONQ son rectos
<POM = <QON por teorema 1OP= OQ por hipot.
por lo tanto el triangulo PMO = QNO por teorema 13
por lo tanto <APQ = <DQP l.q.q.d
TEOREMA XVII
si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una trasversal ángulos alternos-internos iguales, esas dos rectas son paralelas.
demostrar que:
AB es II a CD
demostración:
AB coincide con MN
<MPQ = <DQP por teorema 16
<APQ = <MPQ por axioma 7
por lo tanto el AB y MN deben coincidir por definición de ángulos iguales
sabemos que: MN II CD por hipot.
por lo tanto AB coincide con MN y es II a CD l.q.q.d
TEOREMA XVIII
Si dos paralelas son cortadas por una trasversal los ángulso correspondientes son iguales.
demostrar que:
<BPX = <BQX
demostración:
<BPX = <APQ por teorema 1
y también el <APQ = <DQX por teorema 16
por lo tanto <BTX = <BQX por axioma 7 l.q.q.d
TEOREMA XIX
la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectos.
demostrar que:
<A + <B + <C = 2rt.
demostración:
BY II AC
prolongo AB hasta X
<XBY + <YBC + <CBA = 2rt.
también el <A = <XBY por teorema 18
y además el <C = <YBC por teorema 16
por lo tanto <A + <B + <C = 2rt. l.q.q.d
TEOREMA XX
la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado y la diferencia, menor.
demostrar que:
BC + CA > AB, y AB - BC < CA
demostración:
BO + CA > AB por postulado 3.
BC + CA > AB
CA > AB - BC por axioma 4.
por lo tanto AB - BC < CA l.q.q.d
TEOREMA XXI
si 2 lados de un triangulo son desiguales, al mayor lado se opone mayor angulo
demostrar que:
<BAC > <B
demostración:
CX = CA por construccion
el triangulo ACX es isoceles por clasificacion cde los triangulos
por lo tanto el <CXA = < XAC por teorema 4
<BAC > < CXA por axioma 9
<CXA > < B
por lo tanto <BAC > <B l.q.q.d
TEOREMA XXII
si 2 angulos de un triangulo son desiguales, al mayor angulo se opone mayor lado.
demostrar que:
BC > AC
demostración:
si BC fuera = CA
los angulos A y B serian iguales por teorema 4
CA > BC el angulo B seria mayor a < A
por teorema 21
ahora bien, la igualdad < A = < B
<A < < B
por lo tanto BC > AC l.q..q.d
TEOREMA XXIII
si 2 lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el angulo comprendido por los dos primeros es mayor que el comprendido por los ds segundos, el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo
demostrar que:
AB > XY
demostración:
sean ABC y XYZ 2 triangulos en que AC = XZ
BC= YZ, y el angulo C > <Z
colocamos el triangulo XYZ de modo que XZ coincida con AC,
el lado YZ caera dentrodel angulo YCB
trazamos PY ahora bien CP = CP por identidad}
CY = CB por hipot.
<YCP = < PCB por construccion }
por lo tanto el triengulo PYC = PBC por teorema 2
por lo tanto PY = PB por corolario 1
tbm AP + PY es mayor que AY por post. 3
por lo tanto AP + PB > AY por axioma 8
AB > AY
AB > XY por axioma 8 l.q.q.d
TEOREMA XXIV
si
2 lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados
de otro, y el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer
lado del segundo, el angulo opuesto al tercer lado es mayor en el primer
triangulo que en el segundo.
demostrar que:
<C > <Z
demostración:
sean ABC y XYZ 2 triangulos en que AC = XZ
BC= YZ, y AB > XY
si C = Z
el triangula ABC = XYZ por teorema 2
AB= XY por corolario 1
c < z
AB < XY por teorema 23
por lo tanto <C > <Z l.q.q.d
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