FIGURAS RECTILÍNEAS



                                                               TEOREMA I


dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.


sean AC y BD dos rectas que cortan en O .
 demostrar:         que el < AOB = < COD
tenemos la recta AB y CD  por ángulos suplementarios  y sabemos que :
el <BOC + < AOC=180
<AOC + < AOD =180 por lo tanto el < BOC +<AOC= <AOC+<AOD
 <BOC  = <AOD l.q.q.d


                                                                               TEOREMA II


si 2 lados de un triangulo y el ángulo comprendido son respectiva mente iguales  a dos lados y el ángulo comprendido de otro, los 2 triángulos son iguales.





sean ABC, XYZ dos triángulos  en que AB=XY , AC=XZ Y <A= <X
  demostrar que:
el triangulo ABC = triangulo XYZ

demostración:
coloque se el triangulo ABC sobre XYZ  de suerte que A  caiga sobre X y AB sobre XY   por post.5
entonces  B  caerá sobre Y  y AC tomara la dirección   de  XZ
finalmente   C caerá  sobre Z   por lo tanto CB coincidirá con ZY                por post.1
 por lo tanto los triángulos son congruentes y por lo tanto son iguales l.q.q.d






                                                                               TEOREMA III




 2  triángulos son iguales si tienen iguales respectiva mente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado.






sean ABC y  XYZ  y en que los ángulos A y B  son ='s respectiva mente a los X e Y, y AB  es igual a XY
  demostrar que:

el triangulo ABC = triangulo XYZ


demostración:
coloque se el triangulo ABC sobre XYZ  de suerte que AB  coincida con su igual XY   por post.5
los lados  AC y BC  tomaran  respectiva mente las  direcciones   de  XZ , YZ
 por lo tanto  C  caerá sobre  Z .             por post.1
 por lo tanto son iguales(  por igualdad de las figuras geométricas)
l.q.q.d 







                                                                               TEOREMA IV
 en todo triangulo isoceles los <'s opuestos a los lados iguales son iguales







  demostrar que:

 <A = < B

demostración:
 trazar la bisectriz en el < C
la recta AC = BC  por hipot.
el triangulo ADC   y el triangulo  BDC
<ACD=<BCD      por  construccion
y la recta CD = CD  por identidad
el triangulo ADC = triangulo BDC  por teorema 2
< CAD = < CBD
<A = <B  l.q.q.d


                                                                             TEOREMA V


si dos ángulos de un triangulo son iguales los lados opuestos  son =´s y el triangulo  es por lo tanto isóceles




  demostrar que:

 AC =  BC


demostración:
creamos el triangulo A'B'C'
volteamos el triangulo A'B'C'   por post. 5
la recta AB= a la recta A'B'  por  construccion
<A =<B   por hipot.
<A =<B'  "      "
<A'=<B'  "      "
la recta B'C'  toma la direccion de AC
AC = B'C'
C'  encaja en C
BC= A'C'
BC=B'C'   por construccion
la recta AC =BC  por axioma 7     lq.q.d


                                                               TEOREMA VI


si los 3 lados de un triangulo son respectiva mente iguales a los 3 lados del otro los 2 triángulos son =´s


  demostrar que:
triangulo ABC = A'B'C'

demostración:
transportamos el triangulo A'B'C'   por post 5
AB= B'C'          por hipot.
se crea el triangulo ABC'
unimos C y C'
AC= AC'           por hipot.
BC= BC'            "    "
por lo tanto el <ACC'=<AC'C        por teorema 4

por lo tanto el <BCC'=<BC'C        por teorema 4
<ACC'+<BCC'=<AC'C+<BC'C    por axioma 1
<ACB=<BC'A   por axioma   8
 por lo tanto el triangulo ABC=  triangulo ABC' por teorema 2
el triangulo ABC'= triangulo A´B´C´  por post. 5
por lo tanto el triangulo ABC =A´B'C'   por axioma 7 l.q.q.d
                                              




                                                               TEOREMA VII


 si de un punto situado  en el interior de un triangulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados, la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triangulo.


  demostrar que:
AP + PB  <   AC + BC

demostración:
prolongamos a la recta AP hasta Q    por post.2
obtengo el triangulo AQC y el triangulo BPQ
AC + QC   >   AP + PQ      por post. 3
PQ +  BQ > PB    por post. 3
AC  +  CQ  +  PQ  +  BQ   >   AP + PQ +  PB   por axioma 5
AC  + BC   +   PQ  >  AP +   PQ   +  PB   por axioma 8
AC  +  BC     > AP +  PB   por axioma 4
por lo tanto  AP  +  PB <  AC  + BC  l.q.q.d


                                                               TEOREMA VIII


  de un punto exterior a una recta  no puede bajarse a esa recta no mas de una perpendicular.



  demostrar que:
PZ no es perpendicular a XY

demostración:
trazamos P'Z'  por construccion

OP= OP'           "         "
POP'=   a una recta   por post .2
 PZP'=   no es recta  por post.1
 <POZ  no es recto  por perpendicular
 <P´OZ  no es recto  por perpendicular
 por lo tanto el < POZ=<P'OZ
OZ = OZ  por identidad
 triangulo POZ =  triangulo P'OZ      por teorema 2
< PZO  no es recto
< P'ZO  no es recto
 por lo tanto PZ no es perpendicular a XY  l.q.q.d


                                                               TEOREMA IX


    si de un punto de una perpendicular a una recta  se trazan a la recta dos oblicuas  cuyos pies esten a igual distancia del pie de la perpendicular,  esas dos oblicuas son iguales y forman angulos iguales con la perpendicular.




  demostrar que:
la recta AP  = BP  


demostración:
<APO=<BPO
 AO=BO      por hipot.
 OP = OP  por identidad
< AOP  es recto por perpendicular
<BOP  es recto por perpendicular
por  lo tanto < AOP = <BOP
 el triangulo AOP = BOP    por teorema 2
 <APO = < BPO l.q.q.d



                                                               TEOREMA X


    si de un punto de una perpendicular a una recta  se trazan a  esa  recta dos oblicuas  cuyos pies  no equidisten del de la perpendicular ,  la oblicua cuyo pie  dista mas es mayor que la otra.





  demostrar que:
la recta AP    >   PC

demostración:
prolongamos a la recta OP  por post 2
OP' = OP   por construccion
trazamos PB  por construccion
OC = OB
BP=BP´    por teorema 9
AP = AP'    "      "          "
BP +  PP' > OP + OP'   por post. 3
2 BP > 2OP   por axioma 8
AP   + AP' > 2OP  por post. 3
 2 AP > 2OP
 2 AP > 2BP      por axioma 4
 por lo tanto AP > BP
BP= PC    por teorema 9
por lo tanto AP > PC  l.q..q.d


                                                               TEOREMA XI


    la  perpendicular  es la mas corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella.

  demostrar que:
la recta PO  <   PZ

demostración:
prolongamos  la recta OP  por post 2
OP = OP'  
PZ=P'Z     por teorema 9
PO +P'O < PZ + P'Z      por post 3
2OP      <     2PZ    por  axioma 4
OP      <  PZ             l.q.q.d 



                                                               TEOREMA XII


 dos triangulos rectangulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y un  cateto del otro






  demostrar que:
el triangulo ABC= A´B´C´

demostración:
el angulo AB'C´= 90   por hipot.
<A'B´C´=90                "     "
<AB´C´+ <A´B´C´=180     por angulos colineales
AC'= A'C'     por hipot.
AB' = B'A   por hipot.
el triangulo AB'C'= A'B'C'   por teorema 2
el triangulo AB'C'= ABC   por post 5
  por lo tanto el triangulo ABC = A´B´C´  por axioma 7 l.q.q.d

                                                                            TEOREMA XIII

 dos triangulos rectangulos son iguales si   tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los angulos adyacentes a ella .


  demostrar que:
el triangulo ABC= A´B´C´


demostración:
  utilizamos congruencias
A caera sobre A'
 AC = AC´
AB = A'B'
B caera sobre B'
BC= B´C'
  por lo tanto el triangulo ABC = A´B´C´  l.q.q.d
                                                                                TEOREMA XIV
 dos rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a una  tercera no pueden econtrarse , por mas que se prolonge.


  demostrar que:
AB y CD   son paralelas


demostración:
la recta AB  es perpendicular a XY  por corolario 1
 CD  es perpendicular a XY  por corolario 2
por lo tanto  AB  es paralela a CD  l.q.q.d


                                                                                TEOREMA XV
 dos rectas son paralelas , toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras.





  demostrar que:
XY  es perpedicular a CD


demostración:
MN   ll  AB  por corolario 1
CD  ll   AB    por hipot.
por lo tanto CD  y MN  debe coincidir por post. de rectas
XY perpendicular a MN  por hipot.
XY  es perpedicular a CD lq.q.d

                                                                 TEOREMA XVI  
2  paralelas  son cortadas por una transversal, los <'s alternos-internos son iguales





  demostrar que:
< APQ= <DQP

demostración:
MN   es perpendicular a  AB  por  teorema 15

 el triangulo POM  y QNO B   son rectangulos por construccion
<OMP y <ONQ  son rectos

<POM = <QON   por teorema 1OP= OQ      por hipot.
 por lo tanto el triangulo PMO = QNO      por teorema 13
por lo tanto <APQ = <DQP     l.q.q.d


                                                      TEOREMA XVII
si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una trasversal ángulos alternos-internos iguales, esas dos rectas son paralelas.



  demostrar que:

AB es II a CD

demostración:
AB coincide con MN
<MPQ = <DQP       por teorema 16
<APQ = <MPQ       por axioma 7
por lo tanto el AB y MN deben coincidir        por definición de ángulos iguales
sabemos que: MN II CD           por hipot.
 por lo tanto AB coincide con MN y es II a CD l.q.q.d


                                                           TEOREMA XVIII
Si dos paralelas son cortadas por una trasversal los ángulso correspondientes son iguales.


  demostrar que:
<BPX = <BQX

demostración:
<BPX = <APQ    por teorema 1
y también el <APQ = <DQX  por teorema 16
por lo tanto <BTX = <BQX     por axioma 7    l.q.q.d


                                                                TEOREMA XIX
                  la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectos.





  demostrar que:
<A + <B + <C = 2rt.

demostración:
BY II AC
prolongo AB hasta X
<XBY + <YBC + <CBA = 2rt.
también el  <A = <XBY            por teorema 18
y además el <C = <YBC           por teorema 16
por lo tanto <A + <B + <C = 2rt.    l.q.q.d


                                                              TEOREMA XX
la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado y la diferencia, menor.




  demostrar que:
 BC + CA > AB, y AB - BC < CA

demostración:
BO + CA > AB    por postulado 3.
BC + CA > AB
CA > AB - BC   por axioma 4.
por lo tanto AB - BC < CA     l.q.q.d


                                                              TEOREMA XXI
 si 2 lados de un triangulo son desiguales, al mayor lado se opone mayor angulo

  demostrar que:
<BAC   >    <B

demostración:
CX = CA   por  construccion
el triangulo ACX  es isoceles  por clasificacion cde los triangulos
por lo tanto el <CXA = < XAC   por teorema 4
<BAC    >    < CXA    por axioma 9
<CXA     >    < B
 por lo tanto <BAC   >    <B     l.q.q.d
                                                            



                                                         TEOREMA XXII
 si 2 angulos de un triangulo son desiguales, al mayor angulo se opone mayor lado.


  demostrar que:
BC  > AC

demostración:
si  BC  fuera = CA
los angulos  A y B  serian iguales    por teorema 4
CA       >        BC  el angulo B  seria mayor a < A
 por teorema 21
ahora bien, la igualdad < A = < B
<A     <      < B
por lo tanto BC  > AC l.q..q.d


                                                         TEOREMA XXIII
 si 2 lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el angulo comprendido por los dos primeros es mayor que el comprendido por los ds segundos, el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo




  demostrar que:
AB       >     XY

demostración:
sean ABC y  XYZ   2 triangulos en que AC =  XZ
BC= YZ,  y el angulo C      >   <Z
  colocamos   el triangulo  XYZ   de modo que  XZ coincida con  AC,
el lado YZ caera dentrodel angulo  YCB
trazamos  PY ahora bien CP =  CP  por identidad}
 CY = CB por hipot.
<YCP = < PCB por construccion }
por lo tanto el triengulo PYC = PBC  por teorema 2
 por lo tanto  PY = PB  por corolario 1
tbm AP + PY  es mayor  que  AY  por post. 3
 por lo tanto AP + PB   >   AY  por axioma 8
 AB   >   AY
AB   >    XY    por axioma 8 l.q.q.d


                                                         TEOREMA XXIV

 si 2 lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro,   y el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo, el angulo opuesto al tercer lado es mayor en el primer triangulo que en el segundo.



  demostrar que:
<C   >      <Z     

demostración:
sean ABC y  XYZ   2 triangulos en que AC =  XZ
BC= YZ,  y AB  >  XY

    si C = Z
 el triangula ABC = XYZ por teorema 2
AB= XY  por corolario 1
c < z
AB < XY  por teorema 23
por lo tanto    <C   >      <Z      l.q.q.d


                                                     

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