en un mismo circulo o en circulos iguales , angulos centrales iguales interceptan arcos iguales ;y el mayor de dos angulos desiguales interceptan mayor arco.
demostrar que :
arco AB= arco AB'
arco AC > arco A'B'
demostración:
<AOB=<A´O'B' por hipot.
OA= O'A' por hipot.
OB =O´B' por hipot.
O' coincide con O
por lo tanto A' en A
por lo tanto B' en B
arco AB= arco AB'
<AOC > < AOB por axioma 10
arco AC > arco A'B' l.q.q.d
TEOREMA II
en un mismo circulo o en circulos
iguales , arcos iguales subtienden angulos centrales iguales ;y el
mayor de dos arcos desiguales subtiende mayor angulo central que el menor.
demostrar que :
<AOB=<A'O'B'
<AOC > <A´O'B'
demostración:
colocar el circulo O sobre el O'
OB coincide con O´B' por post. 1
por lo tanto <AOB = <A'O'B' por igualdad de los angulos
por lo tanto <AOC > < AOB por axioma 10
por lo tanto <AOC > <A´O'B' l.q.q.d
TEOREMA III
en un mismo circulo o en circulos
iguales , arcos iguales son subtendidos por cuerdas iguales, y el mayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda.
demostrar que :
la cuerda AB = a la cuerda A'B'
la cuerda AF > a la cuerda A'B'
demostración:
tracese OA ,OB,OF en el circulo O , y O'A',O'B' en el O'
OA= O'A', y OB= O´'B'
<AOB =<A'O'B' por teorema 2
el triangulo OAB = AO´B´
la cuerda AB = a la cuerda A'B' por corolario
<AOF > < A´O'B' por teorema 2
por lo tanto la cuerda AF > a la cuerda A'B' l.q.q.d
TEOREMA IV
en un mismo circulo o en
circulos
iguales , cuerdas iguales subtienden arcos iguales , y la mayor de dos cuerdas desiguales subtienden el mayor arco .
demostrar que :
la cuerda AB = a la cuerda A'B'
la cuerda AF > a la cuerda A'B'
demostración:
tracese OA ,OB,OF en el circulo O , y O'A',O'B' en el O'
OA= O'A', y OB= O´'B'
<AOB =<A'O'B' por teorema 2
el triangulo OAB = AO´B´
la cuerda AB = a la cuerda A'B' por corolario
<AOF > < A´O'B' por teorema 2
por lo tanto la cuerda AF > a la cuerda A'B' l.q.q.d
TEOREMA V
la perpendicular trazada por el centro de un circulo a una cuerda bisecta la cuerda y los arcos subtendidos . .
demostrar que :
AM=BM, arco AQ = arco BQ , arco AP = arco BP demostración:
trazar los radios OA ,OB
OM = OM
OA=OP
el triangulo AMO = BMO por el teorema 12
AM= BM,<AOQ=<BOQ por corolario
<AOP =<BOP " "
por lo tanto arco AQ = arco BQ , arco AP = arco BP l.q.q.d.
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