CIRCULO

                                                                     TEOREMA I

 en un mismo circulo o en circulos iguales , angulos centrales iguales interceptan  arcos iguales ;y el mayor de dos angulos  desiguales interceptan mayor arco.
demostrar que :
arco AB= arco AB'
arco AC  >  arco A'B'
demostración:
<AOB=<A´O'B' por hipot.
OA= O'A' por hipot.
OB =O´B' por hipot.
O' coincide con O
por lo tanto  A' en A
por lo tanto  B' en B
 arco AB= arco AB'
<AOC     >      < AOB  por axioma 10
arco AC  >  arco A'B' l.q.q.d
                                                                    


                                                                        TEOREMA II

 en un mismo circulo o en circulos iguales , arcos   iguales subtienden angulos centrales  iguales ;y el mayor de dos arcos  desiguales subtiende mayor angulo central que el menor.


demostrar que :
<AOB=<A'O'B'
<AOC      >     <A´O'B'
demostración:
 colocar el circulo O sobre el O'
OB  coincide con O´B' por post. 1
por lo tanto  <AOB = <A'O'B'  por igualdad de los angulos
por lo tanto  <AOC   >    < AOB     por axioma 10
por lo tanto  <AOC      >     <A´O'B'   l.q.q.d
                                                                        TEOREMA III

 en un mismo circulo o en circulos iguales , arcos   iguales son subtendidos por cuerdas iguales, y el mayor  de dos arcos  desiguales es subtendido por  mayor cuerda.


demostrar que : 
 la cuerda AB =  a la cuerda A'B'
 la cuerda AF > a la cuerda A'B'
demostración:
 tracese OA ,OB,OF  en el circulo O , y O'A',O'B'  en el O'
OA= O'A', y OB= O´'B'
<AOB =<A'O'B'   por teorema 2
el triangulo OAB = AO´B´
la cuerda AB =  a la cuerda A'B' por corolario
<AOF    >    < A´O'B' por teorema 2
por lo tanto la cuerda AF > a la cuerda A'B' l.q.q.d



                                                                     TEOREMA IV

 en un mismo circulo o en circulos iguales , cuerdas   iguales  subtienden arcos iguales ,  y la mayor  de dos cuerdas  desiguales subtienden  el mayor arco .


demostrar que : 
 la cuerda AB =  a la cuerda A'B'
 la cuerda AF > a la cuerda A'B'
demostración:
 tracese OA ,OB,OF  en el circulo O , y O'A',O'B'  en el O'
OA= O'A', y OB= O´'B'
<AOB =<A'O'B'   por teorema 2
el triangulo OAB = AO´B´
la cuerda AB =  a la cuerda A'B' por corolario
<AOF    >    < A´O'B' por teorema 2
por lo tanto la cuerda AF > a la cuerda A'B' l.q.q.d
                                                                       TEOREMA V

la perpendicular trazada por el centro de un circulo a una cuerda bisecta la cuerda y los arcos subtendidos . .


demostrar que : 
AM=BM, arco AQ = arco BQ , arco AP = arco BP demostración:
 trazar los radios OA ,OB
OM = OM 
OA=OP
 el triangulo AMO = BMO  por el teorema 12
AM= BM,<AOQ=<BOQ por corolario
<AOP =<BOP                   "        "
por lo tanto arco AQ = arco BQ , arco AP = arco BP  l.q.q.d.



















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